古代數(shù)學(xué)文化啟發(fā)高中數(shù)學(xué)育人之道

把數(shù)學(xué)文化從縱向用數(shù)學(xué)，拓展為橫向看文化，既豐富了數(shù)學(xué)的美學(xué)內(nèi)涵、提升了數(shù)學(xué)的文化價值，又加深了對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。數(shù)學(xué)與人類生活和社會發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語言。數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分”。古人已經(jīng)認(rèn)識到了數(shù)學(xué)的重要作用，南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶說：“周教六藝，數(shù)實(shí)成之。學(xué)士大夫，所從來尚矣?！币馑际钦f，周代的教育內(nèi)容有“六藝”，包括禮、樂、射、御、書、數(shù)，數(shù)學(xué)是其中之一，學(xué)者和官員們歷來重視、崇尚數(shù)學(xué)這門學(xué)問。先賢們都精通六藝、通曉籌算，他們將各自的人文思想用數(shù)學(xué)命題來闡釋，反映了人文精神與數(shù)學(xué)精神的交融，體現(xiàn)了中國文化從根基上對數(shù)學(xué)的尊崇。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入中國古代的數(shù)學(xué)文化，可以幫助學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會發(fā)展之間的相互作用，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、人文價值，在提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時增強(qiáng)文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識。

    有助于提升學(xué)生的民族自信心

習(xí)近平總書記指出，“文化自信是一個國家、一個民族發(fā)展中最基本、最深沉、最持久的力量”，“堅(jiān)定文化自信，是事關(guān)國運(yùn)興衰、事關(guān)文化安全、事關(guān)民族精神獨(dú)立性的大問題”，“堅(jiān)定文化自信，離不開對中華民族歷史的認(rèn)知和運(yùn)用”。

成書于1247年的秦九韶《數(shù)書九章》十八卷，記有高次方程的數(shù)值解法，最高為十次方程，16世紀(jì)意大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。1303年，元代數(shù)學(xué)家朱世杰著《四元玉鑒》，解決了四元高次聯(lián)立方程，并提出消元的解法，18世紀(jì)法國人別朱才提出同樣的解法。朱世杰還對各有限項(xiàng)級數(shù)求和問題進(jìn)行了研究，在此基礎(chǔ)上得出了高次差的內(nèi)插公式，17世紀(jì)牛頓才提出內(nèi)插法的一般公式。這些都是中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就。

在近代的優(yōu)秀成果中，中國數(shù)學(xué)家華羅庚先生的數(shù)學(xué)科普著作、中國航天事業(yè)奠基人錢學(xué)森先生的“大成智慧學(xué)”等，皆是繼承和發(fā)揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化取得的成果。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“通過數(shù)學(xué)史和其他領(lǐng)域的典型事例，了解數(shù)學(xué)公理化的含義，了解公理體系的獨(dú)立性、相容性、完備性，了解公理化思想在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)及社會科學(xué)中的運(yùn)用，體會公理化思想的意義和價值?！蓖ㄟ^對中國數(shù)學(xué)史相關(guān)內(nèi)容的了解，學(xué)生可以體會中國數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用，增強(qiáng)文化自信，增強(qiáng)民族自豪感。

    有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具，本身即蘊(yùn)含著人類認(rèn)識世界的特殊智慧，具有很強(qiáng)的趣味性，只是因其抽象性，學(xué)生難免有枯燥難懂之感。教師如果在教學(xué)時適當(dāng)引用中國古代的一些數(shù)學(xué)教科書的內(nèi)容，能夠激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步了解的興趣及深入探究這部分知識的求知欲。

當(dāng)提到高中數(shù)學(xué)的等差數(shù)列問題，我們可以追溯到《張丘建算經(jīng)》，書中問：今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈。問半月積幾何？這是一個已知等差數(shù)列首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)和前n項(xiàng)和，求公差的問題。等差數(shù)列是《張丘建算經(jīng)》中一項(xiàng)重要內(nèi)容。當(dāng)提到高中數(shù)學(xué)的等比數(shù)列相關(guān)問題時，可以追溯到《五經(jīng)算術(shù)》，書中出現(xiàn)了多個等比數(shù)列，其中《禮記·月令》十二律管的長度計(jì)算以及京房六十律管的長度計(jì)算頗為復(fù)雜，說明作者對等比數(shù)列已相當(dāng)熟悉。學(xué)到二項(xiàng)式定理可以追溯到《詳解九章算法》中的“楊輝三角”，南宋數(shù)學(xué)家楊輝在書中畫了一張表示二項(xiàng)式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”。學(xué)到立體幾何求體積時可以追溯到《綴術(shù)》中的祖暅原理，祖暅原理的原文是“冪勢既同，則積不容異”。意思是，兩個等高的幾何體，如果與底面等距離的截面面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。正是因?yàn)樽鏁溤恚庞辛烁咧姓n本中圓柱與棱柱、圓錐與棱錐有相同的體積公式。在教學(xué)時加入一些傳統(tǒng)文化的內(nèi)容，有利于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。在此背景下，學(xué)生不只是機(jī)械性地學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識，而是更能切身地感受到數(shù)學(xué)文化的傳承，了解到數(shù)學(xué)曲折的發(fā)展歷史，更加熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

    有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

現(xiàn)代社會的信息化特征，要求人們要基于所獲取的數(shù)據(jù)提取信息、進(jìn)行決策，這是現(xiàn)代公民的必備常識。因此，高中數(shù)學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生具備六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象。

這些核心素養(yǎng)深植在先賢們的學(xué)說中，要深入掌握這六大核心素養(yǎng)，可以從先賢學(xué)說中汲取營養(yǎng)。數(shù)學(xué)的一個重要特點(diǎn)是客觀性與普遍性，數(shù)學(xué)命題具有長久的生命力，其正確性不會因時因地因人而改變。先賢的學(xué)說經(jīng)由一代代傳承和弘揚(yáng)，仍舊在現(xiàn)代社會的發(fā)展創(chuàng)新中發(fā)揮著巨大的作用。

比如，中國最早的天文觀測儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測臺是西周初年在陽城建立的周公測景（影）臺。“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽光照射在“表”上，便在“圭”上成影，到了漢代，使用圭表更加規(guī)范，用圭表測量太陽照射在竹竿上的影長，可以判斷季節(jié)的變化，也能用于丈量土地，具體過程可以利用三角函數(shù)的相關(guān)知識設(shè)計(jì)方案，并進(jìn)行解題運(yùn)算。此類案例有助于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng)。

有些歷史故事和詩篇，雖然出現(xiàn)在語文課本里，但其中也蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)問題。比如，齊國大將田忌和齊威王賽馬，田忌每個等次的馬都相應(yīng)地比齊威王的慢，那么，經(jīng)過三輪比賽田忌有沒有獲勝的可能呢？可能性有多大？利用古典概率模型計(jì)算后發(fā)現(xiàn)田忌獲勝的概率為六分之一，表面上看田忌不占優(yōu)勢，但策略得當(dāng)仍然可以取得勝利。

詩詞是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，其中包含了大量的數(shù)學(xué)元素。例如，李白的《送友人》中，“青山橫北郭，白水繞東城。此地一為別，孤蓬萬里征?！边@里就涉及了距離和方向的計(jì)算。我們抽象出數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題，最后將結(jié)論還原成實(shí)際問題，在這個過程中可以鍛煉學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng)。

《易經(jīng)》中的陰陽、五行等思想，以及六十四卦、三百八十四爻等符號，也蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想?！兑捉?jīng)》中的二進(jìn)制思想以及對于數(shù)列、排列、組合等問題的研究和應(yīng)用，為現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)提供了重要的啟示。新冠肺炎疫情初期，確診病例數(shù)的增長模型就是通過數(shù)據(jù)分析和計(jì)算機(jī)模擬確定出指數(shù)爆炸的函數(shù)模型，為一系列的應(yīng)對措施提供了重要的參考依據(jù)。通過類似案例，可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析和邏輯推理等素養(yǎng)。

古代經(jīng)典中蘊(yùn)含的思想方法，與今天我們提出的學(xué)生的核心素養(yǎng)有相通之處。同時，從數(shù)學(xué)的視角研究傳統(tǒng)文化，也體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的文化價值。把數(shù)學(xué)文化從縱向用數(shù)學(xué)，拓展為橫向看文化，既豐富了數(shù)學(xué)的美學(xué)內(nèi)涵、提升了數(shù)學(xué)的文化價值，又加深了對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育。

    有助于形成學(xué)生的文化意識

任何一種技術(shù)技巧久置不用后，都會越來越生疏甚至被遺忘，唯有文化深入骨髓，伴隨終生，也唯有文化可以傳承下去。在學(xué)生高考后許多習(xí)題都忘記了如何解答，那么依然留在他們心中的就是數(shù)學(xué)文化。比如，考慮問題時要條理清晰、嚴(yán)謹(jǐn)，處理問題時要有規(guī)有矩，等等。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程不應(yīng)滿足于解題的小技巧和各種題型的解法，對問題的理解方式其實(shí)都是對文化的理解。

中國文化看重“圓方”，素有“天圓地方”之說，圓方都是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。孟子曰：“規(guī)矩，方圓之至也。圣人，人倫之至也。”這里，孟子把數(shù)學(xué)命題和他的人文思想交融為一體。

《管子·法法》說：“規(guī)矩者，方圓之正也，雖有巧目利手，不如拙規(guī)矩之正方圓也……故雖有明智高行，倍法而治，是廢規(guī)矩而正方圓也?！惫苤僦卫韲視r應(yīng)用了數(shù)學(xué)思維，他的人文思想也是用數(shù)學(xué)語言來表征的。老子《道德經(jīng)》中的“負(fù)陰抱陽”，就蘊(yùn)含了深刻的數(shù)學(xué)原理，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言來說就是，陰和陽兩個元素構(gòu)成一個有限群。另外，將“陰陽”換成“負(fù)正”這句話也蘊(yùn)含了“負(fù)負(fù)得正”的思想。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中深入剖析中國古代的數(shù)學(xué)思想和方法，可以提升學(xué)生從學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)逐步發(fā)展到欣賞數(shù)學(xué)，體會古人的數(shù)學(xué)智慧，樹立堅(jiān)定的文化自信和民族認(rèn)同。

（作者系天津市第四十二中學(xué)高中數(shù)學(xué)高級教師）

《中國教育報》2023年10月12日第7版